বাস্তৱ সংখ্যা

ইয়াত অসমীয়া মাধ্যমৰ, গণিত বিষয়ৰ, সমাধান সমূহ দিয়া হৈছে ৷ দশম শ্ৰেণীৰ, অধ্যায়- 1 বাস্তৱ সংখ্যা (Rean Numbers ) পাঠটিত থকা প্ৰশ্নৰ সমাধান সমূহ ইয়াত পাব ৷

বাস্তৱ সংখ্যা – অনুশীলনী 1.1

1. ইউক্লিডৰ কলনবিধি ব্যৱহাৰ কৰি গ.সা.উ. উলিওৱা —

(i) 135 আৰু 225

সমাধান –  

সোপান-1:  যিহেতু 225 > 135, আমি 225 আৰু 135ৰ ওপৰত বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ,

          225 = 135  x  1+ 90

সোপান – 2:  যিহেতু ভাগশেষ  90 ≠ 0, আমি 135 আৰু  90ৰ ওপৰত  বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ,

          135 = 90 x 1 + 45

সোপান – 3:  যিহেতু ভাগশেষ  45  ≠ 0, আমি 90  আৰু  45ৰ ওপৰত  বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ,

          90  =  45 x 2 + 0

ইয়াত ভাগশেষ এতিয়া শূন্য হ’ল, গতিকে প্ৰণালীও বন্ধ কৰা হ’ল ৷

যিহেতু এই পৰ্যায়ত ভাজক 45, গতিকে 135 আৰু 225ৰ গ.সা.উ 45

(ii) 196 আৰু 38220  

   সমাধান –  

      সোপান-1:  যিহেতু 38220  > 196, আমি 38220 আৰু 196ৰ ওপৰত বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ,

          38220  = 196  x  195  +  0

ইয়াত ভাগশেষ এতিয়া শূন্য হ’ল, গতিকে প্ৰণালীও বন্ধ কৰা হ’ল ৷

যিহেতু এই পৰ্যায়ত ভাজক 196, গতিকে 196 আৰু 38220ৰ গ.সা.উ 196

(iii) 867 আৰু 255

সমাধান – 

    সোপান-1:  যিহেতু 867 > 135, আমি 867 আৰু 255ৰ ওপৰত বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ,

          867  = 255  x  3+ 102

সোপান – 2:  যিহেতু ভাগশেষ  102 ≠ 0, আমি 255 আৰু  102ৰ ওপৰত  বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ,

          255  = 102 x 2 + 51

সোপান – 3:  যিহেতু ভাগশেষ  51 ≠ 0, আমি 102 আৰু  51ৰ ওপৰত  বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ,

          102 = 51 x 2 + 0

ইয়াত ভাগশেষ এতিয়া শূন্য হ’ল, গতিকে প্ৰণালীও বন্ধ কৰা হ’ল ৷

যিহেতু এই পৰ্যায়ত ভাজক 51, গতিকে 867 আৰু 255ৰ গ.সা.উ 51

(iv) 272 আৰু 1032  

 সমাধান –     

       সোপান-1:  যিহেতু 1032 > 272, আমি 272 আৰু 1032ৰ ওপৰত বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ,

          1032  = 272  x  3+ 216

সোপান – 2:  যিহেতু ভাগশেষ  216 ≠ 0, আমি 272 আৰু  216ৰ ওপৰত  বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ,

          272  = 216 x 1 + 56

সোপান – 3:  যিহেতু ভাগশেষ  56 ≠ 0, আমি 216 আৰু  56ৰ ওপৰত  বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ,

          216 = 56 x 3 + 48

সোপান – 4:  যিহেতু ভাগশেষ  48 ≠ 0, আমি আকৌ 56 আৰু 48ৰ ওপৰত  বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ,

          56 = 48 x 1 + 8

সোপান – 5:  যিহেতু ভাগশেষ  8 ≠ 0, আমি আকৌ 48 আৰু 8ৰ ওপৰত  বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ,

          48 = 8 x 6 + 0

ইয়াত ভাগশেষ এতিয়া শূন্য হ’ল, গতিকে প্ৰণালীও বন্ধ কৰা হ’ল ৷

যিহেতু এই পৰ্যায়ত ভাজক 8, গতিকে 272 আৰু 1032ৰ গ.সা.উ 8

বাস্তৱ সংখ্যা

(v) 405 আৰু 2520   

সমাধান –  

          সোপান-1:  যিহেতু 2520 > 405, আমি 2520 আৰু 405ৰ ওপৰত বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ,

          2520  = 405  x  6+ 90

সোপান – 2:  যিহেতু ভাগশেষ  90 ≠ 0, আমি 405 আৰু  90ৰ ওপৰত  বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ,

          405  = 90 x 4 + 45

সোপান – 3:  যিহেতু ভাগশেষ  45 ≠ 0, আমি 90  আৰু  45ৰ ওপৰত  বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ,

          90 = 45 x 2 + 0

ইয়াত ভাগশেষ এতিয়া শূন্য হ’ল, গতিকে প্ৰণালীও বন্ধ কৰা হ’ল ৷

যিহেতু এই পৰ্যায়ত ভাজক 45, গতিকে 405 আৰু 2520ৰ গ.সা.উ 45

(vi) 155 আৰু 1385

সমাধান –       

        সোপান-1:  যিহেতু 1385 > 155, আমি 1385 আৰু 155ৰ ওপৰত বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ,

          1385  = 155  x  8+ 145

সোপান – 2:  যিহেতু ভাগশেষ  145 ≠ 0, আমি 155  আৰু  145ৰ ওপৰত  বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ,

          155 = 145 x 1 + 10

সোপান – 3:  যিহেতু ভাগশেষ  10 ≠ 0, আমি 145 আৰু 10ৰ ওপৰত  বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ,

          145 = 10  x 14 + 5

সোপান – 4:  যিহেতু ভাগশেষ  5 ≠ 0, আমি আকৌ 10 আৰু 5ৰ ওপৰত  বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ,

    10 = 5 x 2 + 0

ইয়াত ভাগশেষ এতিয়া শূন্য হ’ল, গতিকে প্ৰণালীও বন্ধ কৰা হ’ল ৷

যিহেতু এই পৰ্যায়ত ভাজক 5, গতিকে 155 আৰু 1385ৰ গ.সা.উ 5 |

(vii) 384 আৰু 1296

সমাধান –    

    সোপান-1:  যিহেতু 1296 > 384, আমি 1296 আৰু 384ৰ ওপৰত বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ,

          1296  = 384  x  3 + 144

সোপান – 2:  যিহেতু ভাগশেষ  144 ≠ 0, আমি 384  আৰু  144ৰ ওপৰত  বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ,

          384  = 144 x 2 + 96

সোপান – 3:  যিহেতু ভাগশেষ  96 ≠ 0, আমি 144 আৰু 96ৰ ওপৰত  বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ,

          144 = 96  x 1 + 48

সোপান – 4:  যিহেতু ভাগশেষ  48 ≠ 0, আমি আকৌ 96 আৰু 48ৰ ওপৰত  বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ,

    96 = 48 x 2 + 0

ইয়াত ভাগশেষ এতিয়া শূন্য হ’ল, গতিকে প্ৰণালীও বন্ধ কৰা হ’ল ৷

যিহেতু এই পৰ্যায়ত ভাজক 48, গতিকে 384 আৰু 1296ৰ গ.সা.উ 48 |

(viii) 1848 আৰু 4058

সমাধান –   

         সোপান-1:  যিহেতু 4058 > 1848, আমি 4058 আৰু 1848ৰ ওপৰত বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ,

          4058  = 1848 x  2 + 362

সোপান – 2:  যিহেতু ভাগশেষ  362 ≠ 0, আমি 1848  আৰু  362ৰ ওপৰত  বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ,

          1848  = 362 x 5 + 38

সোপান – 3:  যিহেতু ভাগশেষ  38 ≠ 0, আমি 362 আৰু 38ৰ ওপৰত  বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ,

          362 = 38  x 9 + 20

সোপান – 4:  যিহেতু ভাগশেষ  20 ≠ 0, আমি 38 আৰু 20ৰ ওপৰত  বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ,

    38 = 20 x 1 + 18

সোপান – 5:  যিহেতু ভাগশেষ  18 ≠ 0, আমি 20 আৰু 18ৰ ওপৰত  বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ,

    20 = 18 x 1 + 2

সোপান – 6:  যিহেতু ভাগশেষ  2 ≠ 0, আমি আকৌ 18 আৰু 2ৰ ওপৰত  বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ,

    18 = 2 x 9 + 0

ইয়াত ভাগশেষ এতিয়া শূন্য হ’ল, গতিকে প্ৰণালীও বন্ধ কৰা হ’ল ৷

যিহেতু এই পৰ্যায়ত ভাজক 2, গতিকে 1848 আৰু 4058ৰ গ.সা.উ 2 |

বাস্তৱ সংখ্যা

2. দেখুওৱা যে যিকোনো যোগাত্মক অযুগ্ম অখণ্ড সংখাই 6q + 1, বা 6q + 3, বা 6q+5 আৰ্হিৰ, য’ত q এটা কোনোবা অখণ্ড সংখ্যা।

সমাধান –      

   আমি এটা যোগাত্মক অযুগ্ম সংখ্যা a ৰে আৰম্ভ কৰোহক। আমি এইটো a লৈ আৰু b = 6 ধৰি বিভাজন কলনবিধি প্রয়োগ কৰোঁ।

যিহেতু 0 ≤ r ≤ 6, যোগাত্মক ভাগশেষবোৰ 0, 1, 2,3,4 আৰু 5  অর্থাৎ a য়ে 6q বা 6q + 1 বা 6q + 2,  বা 6q + 3, বা 6q + 4   নাইবা  6q + 5 হে হ’ব পাৰে য’ত q ভাগফল। যিয়েই নহওঁক, যিহেতু a অযুগ্ম, a য়ে 6q বা 6q + 2 হ’ব নোৱাৰে ৷ গতিকে যিকোনো অযুগ্ম অখণ্ড সংখ্যা 6q + 1, বা 6q + 3, বা 6q + 5 আৰ্হিৰ।

3. 616 সদস্যৰ এটা সৈন্যবাহিনীৰ গোটে 32 জনীয়া এটা সেনাদলৰ পিছে পিছে কদম-খোজ কাঢ়ি কাঢ়ি যাবলগীয়া হ’ল। দুয়োটা দলেই একে সমান সংখ্যক স্তম্ভত কদম-খোজ কাঢ়িবলগীয়া হ‘ল। তেওঁলোকে খোজ কাঢ়িবলগীয়া স্তম্ভৰ উচ্চতম সংখ্যা কি হ‘ব ?

সমাধান –  

      এটা সেনাদলত মুঠ সদস্য 616 আৰু আন এটা সেনাদলৰ মুঠ সংখ্যা 32 ।

 যিহেতু দল দুটা সমান সংখ্যক স্তম্ভাকাৰে (columns) ঠিয় হৈ মার্চ কৰিব , তেওঁলোকে খোজ কাঢ়িবলগীয়া স্তম্ভৰ উচ্চতম সংখ্যা 616 আৰু 32ৰ গ.সা.উ. হ’ব ৷

         সোপান-1:  যিহেতু 616 > 32, আমি 616 আৰু 32ৰ ওপৰত বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ,

          616  = 32 x  19 + 8

সোপান – 2:  যিহেতু ভাগশেষ  8 ≠ 0, আমি 32  আৰু  8ৰ ওপৰত  বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ,

          32  = 8 x 4 + 0

ইয়াত ভাগশেষ এতিয়া শূন্য হ’ল, গতিকে প্ৰণালীও বন্ধ কৰা হ’ল ৷

যিহেতু এই পৰ্যায়ত ভাজক 8, গতিকে 616 আৰু 32ৰ গ.সা.উ 8

এতেকে তেওঁলোকে খোজ কাঢ়িবলগীয়া স্তম্ভৰ উচ্চতম সংখ্যা 8 হ’ব ৷

বাস্তৱ সংখ্যা

4. ইউক্লিডৰ বিভাজন প্রমেয়িকা ব্যৱহাৰ কৰি দেখুওৱা যে যিকোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ বৰ্গই হয় 3m নাইবা 3m + 1 আৰ্হিৰ, য‘ত m এটা কোনোবা অখণ্ড সংখ্যা।

[ ইংগিত : ধৰা x এটা যিকোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যা। তেন্তে ইয়াৰ আৰ্হি হ’ব 3q, 3q + 1 বা 3q + 2 এতিয়া ইহঁতৰ প্রতিটোকে বর্গ কৰা আৰু দেখুওৱা যে সিহঁতক 3m বা 3m + 1 আৰ্হিত লিখিব পাৰি।]

সমাধান –   

   ধৰাহ’ল, ‘x’ এটা যিকোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যা । তেনেহ’লে 3q, 3q + 1 অথবা 3q + 2 যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যা হ’ব।

যদি x = 3q ধৰা হয়, তেনেহ’লে উভয়পক্ষক বর্গ কৰি পাওঁ

                                         (x)²  = (3q)²

                                                 = 9q²

                                                = 3(3q)

                                              = 3m, য’ত m = 3q আৰু ‘m’ এটা  অখণ্ড সংখ্যা।……………..(1)

যদি, x = 3q + 1 হয়, তেনেহ’লে উভয়পক্ষক বর্গ কৰি পাওঁ

                                (x)² = (3q + 1)²

                                             =  9q +1+2x3qx1

                                         = 3(3q² + 2q) +1

                                        = 3m+1, যত, m = 3q + 2q আৰু ‘m’ এটা  অখণ্ড সংখ্যা।……………..(2)

এতিয়া, (1) আৰু (2)ৰ পৰা  আমি পাওঁ , x² = 3m, 3m +1

এতেকে, যিকোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ বর্গ, 3m নাইবা, 3m + 1 আকাৰত হ’ব। 

বাস্তৱ সংখ্যা

5. ইউক্লিডৰ বিভাজন প্রমেয়িকা ব্যৱহাৰ কৰি দেখুওৱা যে যিকোনো  যোগাত্মক অখণ্ড

সংখ্যাৰ ঘনফলটো 9m, 9m + 1 নাইবা 9m + 8 আৰ্হিৰ।

সমাধান –   

         ধৰাহ’ল ‘x’ এটা  যিকোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যা আৰু q = 3

  x  = 3q + r , য’ত ভাগফল = 9 আৰু ভাগশেষ = r ৷

    0 ≤ r < 3

যদি r = 0 হয়, তেতিয়া x = 3q হ’ব।

যদি r = 1 হয়, তেতিয়া x = 3q + 1 হ’ব।

যদি r = 2 হয়, তেতিয়া x = 3q + 2 হ’ব ।

এতিয়া x = 3qৰ উভয়পক্ষক ঘন কৰিলে পাওঁ-

                        (x)³ = (3q)³

                                   = 27q³

                               =  9(3q)

                                = 9m য’ত m = 3q আৰু ই এটা অখণ্ড সংখ্যা।……. (1)

যদি x = 3q + 1, উভয়পক্ষক ঘন কৰিলে পাওঁ

                         (x)³ = (3q +1)³

                                 = 27q³ + 27q²+9q +1

                                = 9(3q³ +3q² +q) +1

                                 = 9m + 1, য’ত m = 3q³ + 3q² + q আৰু ই এটা অখণ্ড সংখ্যা।……. (2)

আকৌ, যদি x = 3q + 2, উভয়পক্ষক ঘন কৰি পাওঁ—

                              (x)³ = (3q+2)³

                                          = 27q ³+54q² +36q + 8

                                       = 9(3q³ + 6q² +4q) + 8

                                       = 9m+ 8 যত m = 3q³ + 6q² +4qআৰু ই এটা অখণ্ড সংখ্যা।……. (3)

এতেকে সমীকৰণ (1), (2) আৰু (3)ৰ পৰা আমি পাওঁ যে যিকোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ ঘনফলটো 9m, 9m +1 নাইবা 9m + 8 |

6. হিমাদ্রীয়ে 625 টা ভাৰতীয় আৰু 325 টা আন্তঃৰাষ্ট্ৰীয় ডাকটিকট সংগ্রহ কৰিলে। তাই এইবোৰ এক বিশেষ থূপত ৰাখি প্রদর্শন কৰিবলৈ বিচাৰে যাতে এটাও ডাকটিকট ৰৈ নাযায়। হিমাদ্রীয়ে সর্বাধিক কিমানটা থুপত ডাকটটিকটবোৰ প্ৰদৰ্শন কৰিব পাৰিব?

সমাধান –

হিমাদ্ৰীয়ে 625টা ভাৰতীয় আৰু 325 টা অন্তঃৰাষ্ট্ৰীয় ডাকটিকট সংগ্ৰহ কৰিলে ৷  তাই এইবোৰক প্ৰদৰ্শন কৰিবলৈ কৰা মুঠ থুপৰ সংখ্যা 625 আৰু 325ৰ গ.সা.উ উলিয়ালে পোৱা যাব ৷

    সোপান-1:  যিহেতু 625 > 325, আমি 625 আৰু 325ৰ ওপৰত বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ,

          625  = 325  x  1 + 300

সোপান – 2:  যিহেতু ভাগশেষ  300 ≠ 0, আমি 325  আৰু  300ৰ ওপৰত  বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ,

          325  = 300 x 1  + 25

সোপান – 3:  যিহেতু ভাগশেষ  25 ≠ 0, আমি 325 আৰু 25ৰ ওপৰত  বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ,

          300 = 25  x 11 + 25

সোপান – 4:  যিহেতু ভাগশেষ  25 ≠ 0, আমি আকৌ 25 আৰু 25ৰ ওপৰত  বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ,

    25 = 25 x 1 + 0

ইয়াত ভাগশেষ এতিয়া শূন্য হ’ল, গতিকে প্ৰণালীও বন্ধ কৰা হ’ল ৷

যিহেতু এই পৰ্যায়ত ভাজক 25, গতিকে 625 আৰু 325ৰ গ.সা.উ 25 |

এতেকে, হিমাদ্ৰীয়ে সৰ্বাধিক 25টা থূপত ডাকটিকটবোৰ প্ৰদৰ্শন কৰিব পাৰিব ৷

বাস্তৱ সংখ্যা

7. দুডাল ৰছীৰ দৈৰ্ঘ্য ক্ৰমে 64 ছে.মি. আৰু 80 ছে.মি. ৷ দুয়োডালৰ পৰা সমান দৈৰ্ঘ্যৰ টুকুৰা কাটি উলিয়াব লাগে ৷ অকণো ৰৈ নোযোৱাকৈ দুয়োডাল ৰছীৰ পৰা কাটি উলিয়াব পৰা তেনে টুকুৰাৰ সৰ্বাধিক দৈৰ্ঘ্য কিমান হ’ব ৷  

সমাধান –

দুডাল ৰছীৰ দৈৰ্ঘ্য ক্ৰমে 64 ছে.মি. আৰু 80 ছে.মি. ৷ অকণো ৰৈ নোযোৱাকৈ দুয়োডাল ৰছীৰ পৰা কাটি উলিয়াব পৰা সমান দৈৰ্ঘ্যৰ টুকুৰাৰ সৰ্বাধিক দৈৰ্ঘ্য 64 আৰু 80ৰ গ.সা.উ

উলিযালে পোৱা যাব৷

সোপান-1:  যিহেতু 80 > 64, আমি 80 আৰু 64ৰ ওপৰত বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ,

          80  = 64  x  1 + 16

সোপান – 2:  যিহেতু ভাগশেষ  16 ≠ 0, আমি 64 আৰু  16ৰ ওপৰত  বিভাজন প্ৰমেয়িকা প্ৰয়োগ কৰি পাওঁ,

          64 = 16  x 4  + 0

ইয়াত ভাগশেষ এতিয়া শূন্য হ’ল, গতিকে প্ৰণালীও বন্ধ কৰা হ’ল ৷

যিহেতু এই পৰ্যায়ত ভাজক 16, গতিকে 64 আৰু 80ৰ গ.সা.উ 16 |

এতেকে, দুয়োডাল ৰছীৰ পৰা কাটি উলিয়াব পৰা সমান দৈৰ্ঘ্যৰ টুকুৰাৰ সৰ্বাধিক দৈৰ্ঘ্য 16 ছে.মি. হ’ব ৷

বাস্তৱ সংখ্যা – অনুশীলনী 1.2

1. প্রতিটো সংখ্যাকে ইয়াৰ মৌলিক উৎপাদবোৰৰ গুণফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰাঃ

(i) 140

সমাধানঃ

140ৰ ল.সা.গু উলিয়াই 140ক ইয়াৰ মৌলিক উৎপাদকৰ গুণফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি ৷

140ৰ ল.সা.গু = 2 x 2 x 5 x 7 x 1

140ৰ মৌলিক উৎপাদক – 2² x 5 x 7

(ii) 156

সমাধানঃ

156ৰ ল.সা.গু উলিয়াই 156ক ইয়াৰ মৌলিক উৎপাদকৰ গুণফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি ৷

156ৰ ল.সা.গু = 2 x 2 x 3 x 13 x 1

156ৰ মৌলিক উৎপাদক – 2² x 3 x 13

(iii) 3825

সমাধানঃ

3825ৰ ল.সা.গু উলিয়াই 3825ক ইয়াৰ মৌলিক উৎপাদকৰ গুণফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি ৷

3825ৰ ল.সা.গু = 3 x 3 x 5 x 5 x 17 x 1

3825ৰ মৌলিক উৎপাদক – 3² x 5² x 17

(iv) 5005

সমাধানঃ

5005ৰ ল.সা.গু উলিয়াই 5005ক ইয়াৰ মৌলিক উৎপাদকৰ গুণফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি ৷

5005ৰ ল.সা.গু = 5 x 7 x 11 x 13 x 1

5005ৰ মৌলিক উৎপাদক – 5 x 7 x 11 x 13

(v) 7429

সমাধানঃ

7429ৰ ল.সা.গু উলিয়াই 7429ক ইয়াৰ মৌলিক উৎপাদকৰ গুণফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি৷

7429ৰ ল.সা.গু = 17 x 19 x 23 x 1

7429ৰ মৌলিক উৎপাদক – 17 x 19 x 23

2. তলৰ অখণ্ড সংখ্যাকেইযোৰৰ ল.সা.গু. আৰু গ.সা.উ. উলিওৱা। সত্যাপন কৰা যে। ল.সা.গু. X গ.সা.উ. = সংখ্যাদুটাৰ গুণফল।

(i) 26 আৰু  91

সমাধানঃ

26ৰ মৌলিক উৎপাদক :  2 x 13 আৰু

91ৰ মৌলিক উৎপাদক :  7 x 13

 26 আৰু 91ৰ ল.সা.গু = 2 x 7 x 13 = 182

আৰু 26 আৰু 91ৰ  গ.সা.উ. = 13

পৰীক্ষা :

ল.সা.গু. x গ.সা.উ. = 182 x 13

              = 91 (13 X 2)

              = 91 X 26

              = সংখ্যাদুটাৰ পূৰণফল।

 (ii) 510 আৰু 92

সমাধানঃ

510ৰ মৌলিক উৎপাদক :  2 x 3 x 5 x 17 আৰু

92ৰ মৌলিক উৎপাদক :  2 x 2 x 23

 510 আৰু 92ৰ ল.সা.গু = 2 x 2 x 3 x 5 x 17 x 23 = 23460

আৰু 26 আৰু 91ৰ  গ.সা.উ. = 2

পৰীক্ষা :

ল.সা.গু. x গ.সা.উ. = 23460 x 2

              = (2 x 2 x 3 x 5 x 17 x 23) x 2

              = (2 x 3 x 5 x 17) x (2 x 2 x 23)

              = 510 X 92

              = সংখ্যাদুটাৰ পূৰণফল।

(iii) 336  আৰু  54

সমাধানঃ

336ৰ মৌলিক উৎপাদক :  2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 7 আৰু

54ৰ মৌলিক উৎপাদক :  2 x 3 x 3 x 3

 336 আৰু 54ৰ ল.সা.গু = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 7 = 3024

আৰু 336 আৰু 54ৰ  গ.সা.উ. = 2 x 3 = 6

পৰীক্ষা :

ল.সা.গু. x গ.সা.উ. = 336 x 54

              = (2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 7) x (2 x 3)

              = (2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 7) x (2 x 3 x 3 x 3)

              = 336 X 54

              = সংখ্যাদুটাৰ পূৰণফল।

3. মৌলিক উৎপাদকীকৰণ পদ্ধতিৰে তলৰ অখণ্ড সংখ্যাবোৰৰ ল.সা.গু. আৰু গ.সা.উ উলিওৱা।

(i) 12, 15 আৰু  21

সমাধানঃ

12ৰ মৌলিক উৎপাদক :  2 x 2 x 3

15ৰ মৌলিক উৎপাদক :  3 x 5 আৰু

21ৰ মৌলিক উৎপাদক :  3 x 7

 12, 15 আৰু 21ৰ ল.সা.গু = 2 x 2 x 3 x 5 x 7 = 420 আৰু

      12, 15 আৰু 21ৰ গ.সা.উ. = 3

(ii) 17, 23 আৰু 29

সমাধানঃ

17ৰ মৌলিক উৎপাদক :  1 x 17

23ৰ মৌলিক উৎপাদক :  1 x 23 আৰু

29ৰ মৌলিক উৎপাদক :  1 x 29

 17, 23 আৰু 29ৰ ল.সা.গু = 17 x 23 x 29 = 11339 আৰু

      17, 23 আৰু 29ৰ গ.সা.উ. = 1

বাস্তৱ সংখ্যা

(iii) 8, 9 আৰু 25

সমাধানঃ

8ৰ মৌলিক উৎপাদক :  2 x 2 x 2 x 1

9ৰ মৌলিক উৎপাদক :  3 x 3 x 1 আৰু

25ৰ মৌলিক উৎপাদক :  5 x 5 x 1

 8, 9 আৰু 25ৰ ল.সা.গু = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 5 = 1800 আৰু

      8, 9 আৰু 25ৰ গ.সা.উ. = 1

4. দিয়া আছে গ.সা.উ. (306, 657) = 9। ল.সা.গু. (306, 657) উলিওৱা।

সমাধানঃ

দিয়া আছে, 306 আৰু 657ৰ গ.সা.উ = 9

        306 আৰু 657ৰ ল.সা.গু = ?

এতেকে, 306 আৰু 657ৰ ল.সা.গু = 22338

5. পৰীক্ষা কৰা, কোনোবা স্বাভাৱিক সংখ্যা n অৰ ক্ষেত্ৰত 6ⁿ সংখ্যাটো 0 অংকেৰে শেষ

হ‘ব পাৰেনে নাই।

সমাধানঃ

    n অৰ কোনো মানৰ ক্ষেত্ৰত যদি 6ⁿ সংখ্যাটো শূন্য অংকটোৰে শেষ হ’বলগীয়া হয়, তেন্তে ই 5ৰে বিভাজ্য হ’ব। ইয়াৰ অৰ্থ, 6ⁿ ৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণত 5 মৌলিক সংখ্যাটো

থাকিব। এইটো সম্ভৱ নহয়, কাৰণ 6ⁿ = (2 x 3 )ⁿ; অর্থাৎ 6ⁿ ৰ উৎপাদকীকৰণত অকল মৌলিক 2 আৰু 3হে থাকিব। গতিকে পাটীগণিতৰ মৌলিক উপপাদ্যই নিশ্চিত কৰে যে 6ⁿ অৰ উৎপাদকীকৰণত অইন কোনো মৌলিক উৎপাদক নাই। সেয়েহে, স্বাভাৱিক সংখ্যা n অৰ ক্ষেত্ৰত 6ⁿ সংখ্যাটো 0 অংকেৰে শেষ হ’ব নোৱাৰে ৷

6. 7 x 11 x 13 + 13 আৰু 7 x 6 × 5 × 4 x 3 x 2 x 1 + 5 সংখ্যা দুটা কিয় যৌগিক সংখ্যা, ব্যাখ্যা কৰা।

সমাধানঃ

প্ৰত্যেক যৌগিক সংখ্যাকেই মৌলিকৰ গুণফল হিচাপে প্ৰকাশ(উৎপাদকত) কৰিব পাৰি; আৰু মৌলিক উৎপাদকবোৰ প্ৰকাশ পোৱা ক্ৰমৰ বাহিৰে এই উৎপাদীকৰন অদ্বিতীয় ৷

                      7 x 11 x 13 + 13  = 13(77 + 1 )

                     = 13 x 78

                     = 13 x 2 x 3 x 13

                     = 2 x 3 x 13², য’ত 2, 3 আৰু 13 মৌলিক সংখ্যা ৷

এতেকে, 7 x 11 x 13 + 13 যৌগিক সংখ্যা ৷

একেদৰে,

        7 x 6 × 5 × 4 x 3 x 2 x 1 + 5 = 5(7x 6 x 4 x 3 x 2 x 1 + 1)

                           = 5 x(1008 + 1)

                           = 5 x 1009, য’ত 5 আৰু 1009 মৌলিক সংখ্যা ৷

এতেকে, 7 x 6 × 5 × 4 x 3 x 2 x 1 + 5 যৌগিক সংখ্যা ৷

7. এখন খেল পথাৰৰ চাৰিওপিনে এটা বৃত্তাকাৰ পথ। খেল পথাৰখন গাড়ীৰে এবাৰ ঘূৰিবলৈ

ছোনিয়াৰ 18 মিনিট লাগে, য’ত একেটা ঘূৰণতে ৰবিৰ লাগে 12মিনিট ৷ ধৰা তেওঁলোকে একেটা বিন্দুতে একে সময়তে আৰু একেটা দিশত যাত্ৰা আৰম্ভ কৰে। কিমান মিনিট পিছত তেওঁলোক আকৌ আৰম্ভণিৰ বিন্দুটোত লগ লাগিব।

সমাধানঃ

    খেল পথাৰখন গাড়ীৰে এবাৰ ঘূৰিবলৈ ছোনিয়াৰ 18 মিনিট লাগে আৰু ৰবিৰ লাগে 12মিনিট ৷

18 আৰু 12ৰ ল.সা,গুয়ে তেওঁলোক আকৌ আৰম্ভণিৰ বিন্দুটোত লগ হোৱা সময় দিব ৷

18ৰ মৌলিক উৎপাদক :  2 x 3 x 3

12ৰ মৌলিক উৎপাদক :  2 x 2 x 3

18 আৰু 12 ৰ ল.সা.গু = 2 x 2 x 3 x 3 = 36

এতেকে, ছোনিয়া আৰু ৰবিয়ে 36 মিনিটৰ পিছত আকৌ আৰম্ভণিৰ বিন্দুটোত লগ হ’ব ৷

8. (i) এটা ৰেজিমেণ্টত থকা সৈনিকবোৰক 15, 20 বা 25 জনকৈ লৈ কিছুমান শাৰীত থিয় কৰাব পাৰি। ৰেজিমেন্টটোত অতি কমেও কিমানজন সৈনিক আছে ?

সমাধানঃ

15, 20 আৰু 25ৰ ল.সা.গুৰ পৰা ৰেজিমেন্টটোত থকা সৈনিকৰ সংখ্যা নিৰ্ণয় হ’ব ৷

15ৰ মৌলিক উৎপাদক :  3 x 5

20ৰ মৌলিক উৎপাদক :  2 x 2 x 5

25ৰ মৌলিক উৎপাদক :  5 x 5

এতেকে, 15, 20 আৰু 25 ৰ ল.সা.গু = 3 x 5 x 2 x 2 x 5 = 300

এতেকে, ৰেজিমেন্টটোত অতি কমেও 300জন সৈনিক আছে |

(ii) এটা ঘণ্টা 18 ছেকেণ্ড আৰু আন এটা ঘণ্টা 60 ছেকেণ্ডৰ অন্তৰালত বাজে। কোনো

এক সময়ত দুয়োটা ঘণ্টা একেলগে বাজিলে তাৰ কিমান ছেকেণ্ড পিছত ঘন্টটা পুনৰ

একেলগে বাজিব?

সমাধানঃ

18 আৰু 60ৰ ল.সা.গুৰ পৰা দুয়োটা ঘণ্টা একেলগে বজা সময় নিৰ্ণয় হ’ব ৷

18ৰ মৌলিক উৎপাদক :  2 x 3 x 3

60ৰ মৌলিক উৎপাদক :  2 x 3 x 3 x 10

এতেকে, 15, 20 আৰু 25 ৰ ল.সা.গু = 2 x 3 x 3 x 10 = 180

এতেকে, 180 ছেকেণ্ড পিছত ঘন্টাটো পুনৰ একেলগে বাজিব ৷

(iii) এটা অনাতাঁৰ কেন্দ্ৰই প্রতি দুদিনৰ মূৰে মূৰে “অসম সংগীতটো বজায়। আন এট|

কেন্দ্ৰই একেটা সংগীত প্রতি তিনি দিনৰ মূৰে মূৰে বজায়। 30 দিনত মুঠতে কিমানবাৰ

দুয়োটা অনাতাঁৰ কেন্দ্ৰই একেটা দিনত সংগীতটো বজাব ?

সমাধানঃ

ধৰাহ’ল এমাহত 30 দিন থাকে ৷

এটা অনাতাঁৰ কেন্দ্ৰই প্রতি দুদিনৰ মূৰে মূৰে অসম সংগীত’ বজালে, তাৰিখবোৰ হ’ব :

1, 3, 5, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27 আৰু 29

আকৌ, আন এটা কেন্দ্ৰই একেটা সংগীত প্রতি তিনি দিনৰ মূৰে মূৰে বজালে, তাৰিখবোৰ হ’ব ।

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22,25 আৰু 28

 এতেকে, 30 দিনত দুয়োটা অনাতাঁৰ কেন্দ্ৰই একেটা দিনত সংগীতটো বজালে

তাৰিখবোৰ হব : 1, 7, 13, 19 আৰু 25 অৰ্থাৎ 5 বাৰ ।

বাস্তৱ সংখ্যা – অনুশীলনী 1.3

বাস্তৱ সংখ্যা

বাস্তৱ সংখ্যা – অনুশীলনী 1.4

1.  দীৰ্ঘ হৰণ নকৰাকৈ তলত উল্লেখ কৰা পৰোমেয় সংখ্যাবোৰৰ দশমিক বিস্তৃতি পৰিসমাপ্ত (সাবধি) নাইবা কোনবোৰৰ নিৰবধি পৌনঃপুনিক দশমিক বিস্তৃতি থাকিব বৰ্ণনা কৰা –

(i) 13/3125

সমাধানঃ ধৰাহ’ল 13/3125, p/q  আৰ্হিৰ এটা পৰিমেয় সংখ্যা ৷

     ইয়াত , p = 13 আৰু q = 3125

এতিয়া 3125ৰ মৌলিক উৎপাদক = 5x5x5x5x5 = 2⁰ x 5⁵

অৰ্থাৎ হৰৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণৰ আৰ্হি 2ⁿ5^m, য’ত n, m বোৰ অ-বিয়োগাত্মক ৷

এতেকে 13/3125ৰ দশমিক বিস্তৃতি পৰিসমাপ্ত(সাবধি) আছে ৷

(ii) 17/8

সমাধানঃ ধৰাহ’ল 17/8 ,   p/q  আৰ্হিৰ এটা পৰিমেয় সংখ্যা ৷

     ইয়াত , p = 17 আৰু q = 8

এতিয়া 8ৰ মৌলিক উৎপাদক = 2x2x2 = 2³ x 5⁰

অৰ্থাৎ হৰৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণৰ আৰ্হি 2ⁿ5^m, য’ত n, m বোৰ অ-বিয়োগাত্মক ৷

এতেকে  17/8ৰ দশমিক বিস্তৃতি পৰিসমাপ্ত(সাবধি)আছে ৷

(iii) 64/455

সমাধানঃ ধৰাহ’ল 64/455 ,   p/q  আৰ্হিৰ এটা পৰিমেয় সংখ্যা ৷

     ইয়াত , p = 64 আৰু q = 455

এতিয়া 455ৰ মৌলিক উৎপাদক = 5x7x13

অৰ্থাৎ হৰৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণৰ আৰ্হি 2ⁿ5^m নহয়, য’ত n, m বোৰ অ-বিয়োগাত্মক ৷

এতেকে  64/455ৰ দশমিক বিস্তৃতি নিৰবধি পৌনঃপুনিক৷

(iv) 15/16000

সমাধানঃ ধৰাহ’ল 15/16000 ,   p/q  আৰ্হিৰ এটা পৰিমেয় সংখ্যা ৷

     ইয়াত , p = 15 আৰু q = 16000

এতিয়া 16000ৰ মৌলিক উৎপাদক = 2x2x2x2x2x2x5x5 = 2⁶ x 5²

অৰ্থাৎ হৰৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণৰ আৰ্হি 2ⁿ5^m, য’ত n, m বোৰ অ-বিয়োগাত্মক ৷

এতেকে  15/16000ৰ দশমিক বিস্তৃতি পৰিসমাপ্ত(সাবধি)আছে ৷

(v) 29/343

সমাধানঃ ধৰাহ’ল 29/343 ,    p/q আৰ্হিৰ এটা পৰিমেয় সংখ্যা ৷

     ইয়াত , p = 29 আৰু q = 343

এতিয়া 343ৰ মৌলিক উৎপাদক =7X7X7 = 2⁰ X 7³

অৰ্থাৎ হৰৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণৰ আৰ্হি 2ⁿ5^m, য’ত n, m বোৰ অ-বিয়োগাত্মক ৷

এতেকে  29/343ৰ দশমিক বিস্তৃতি পৰিসমাপ্ত(সাবধি)আছে ৷

(vi) 23/2³.5²

সমাধানঃ

ধৰাহ’ল 23/2³.5²,  p/q আৰ্হিৰ এটা পৰিমেয় সংখ্যা ৷

ইয়াত , p = 23 আৰু q = 2³.5²

এতিয়া 2³.5²ৰ মৌলিক উৎপাদক =2³X5²

অৰ্থাৎ হৰৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণৰ আৰ্হি 2ⁿ5^m, য’ত n,m বোৰ অ-বিয়োগাত্মক ৷

এতেকে  23/2³.5²ৰ দশমিক বিস্তৃতি পৰিসমাপ্ত(সাবধি)আছে ৷

(vii) 129/2².5⁷.7⁵

সমাধানঃ

ধৰাহ’ল 129/2².5⁷.7⁵ ,  p/q আৰ্হিৰ এটা পৰিমেয় সংখ্যা ৷

     ইয়াত , p = 129 আৰু q = 2².5⁷.7⁵

এতিয়া 2².5⁷.7⁵ ৰ মৌলিক উৎপাদক = 2²X5⁷X7⁵

অৰ্থাৎ হৰৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণৰ আৰ্হি 2ⁿ5^m নহয়, য’ত n,m বোৰ অ-বিয়োগাত্মক ৷

এতেকে  2².5⁷.7⁵ ৰ দশমিক বিস্তৃতি নিৰবধি পৌনঃপুনিক৷

(viii) 6/15

সমাধানঃ  ধৰাহ’ল 6/15 =2/5,  p/qআৰ্হিৰ এটা পৰিমেয় সংখ্যা ৷

ইয়াত , p = 2 আৰু q = 5

এতিয়া 5ৰ মৌলিক উৎপাদক =2⁰X5¹

অৰ্থাৎ হৰৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণৰ আৰ্হি 2ⁿ5^m, য’ত n,m বোৰ অ-বিয়োগাত্মক ৷

এতেকে  6/15ৰ দশমিক বিস্তৃতি পৰিসমাপ্ত(সাবধি)আছে ৷

(ix) 35/50

সমাধানঃ  ধৰাহ’ল 35/50 =7/10,  p/qআৰ্হিৰ এটা পৰিমেয় সংখ্যা ৷

ইয়াত , p = 7 আৰু q = 10

এতিয়া 10ৰ মৌলিক উৎপাদক =2¹X5¹

অৰ্থাৎ হৰৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণৰ আৰ্হি 2ⁿ5^m, য’ত n,m বোৰ অ-বিয়োগাত্মক ৷

এতেকে  35/50ৰ দশমিক বিস্তৃতি পৰিসমাপ্ত(সাবধি)আছে ৷

(x) 77/210

সমাধানঃ ধৰাহ’ল 77/210 =11/30 ,  p/qআৰ্হিৰ এটা পৰিমেয় সংখ্যা ৷

     ইয়াত , p = 11 আৰু q = 30

এতিয়া 30ৰ মৌলিক উৎপাদক = 2X3X5

অৰ্থাৎ হৰৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণৰ আৰ্হি 2ⁿ5^m নহয়, য’ত n,m বোৰ অ-বিয়োগাত্মক ৷

এতেকে  77/210ৰ দশমিক বিস্তৃতি নিৰবধি পৌনঃপুনিক৷

2.ওপৰৰ প্রশ্ন 1অত যিবোৰ পৰিমেয় সংখ্যাৰ পৰিসমাপ্ত দশমিক বিস্তৃতি আছে সেইবোৰৰ দশমিক বিস্তৃতিবোৰ লিখি দেখুওৱা।

সমাধানঃ

    ওপৰৰ প্রশ্ন 1অত যিবোৰ পৰিমেয় সংখ্যাৰ পৰিসমাপ্ত দশমিক বিস্তৃতি আছে সেইবোৰৰ দশমিক বিস্তৃতিবোৰ তলত দেখুওৱা হ’ল –

• 

• 

• 

• 

• 

• 

3.তলৰ বাস্তৱ সংখ্যাবোৰৰ ইয়াত দেখুওৱা ধৰণে দশমিক বিস্তৃতি আছে। প্রতিটোৰ ক্ষেত্ৰতে ই

এটা পৰিমেয় হয় নে নহয় সিদ্ধান্ত কৰা। যদি ই পৰিমেয় আৰু ই p/q আৰ্হিৰ, তেন্তে ইয়াক qৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণৰ বিষয়ে কি ক’ব পাৰিব?

(i)43.123456789

সমাধান- 43.123456789 বাস্তৱ সংখ্যাটো পৰিমেয় কাৰণ ইয়াৰ দশমিক বিস্তৃতি পৰিসমাপ্ত(সাবধি)আছে ৷

ধৰাহ’ল,

    x = 43.123456789

      = 43123456789/1000000000

      = 43123456789/10⁹, ই p/q আৰ্হিৰ

      = 43123456789/2⁹ x 5⁹

 ইয়াত p = 43123456789 আৰু q = 2⁹ x 5⁹

এতেকে qৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণৰ আৰ্হি 2ⁿ5^m, য’ত n,m অ-বিয়োগাত্মক সংখ্যা ৷

আৰু qৰ মৌলিক উৎপাদক হয় 2 বা 5 বা উভয়ে ৷

(ii)0.120120012000120000…

সমাধান- 0.120120012000120000… বাস্তৱ সংখ্যাটো পৰিমেয় নহয় কাৰণ ইয়াৰ দশমিক বিস্তৃতি নিৰবধি পৌনঃপুনিক৷

Read More :

অধ্যায় ১ – বাস্তৱ সংখ্যা

আধ্যায় ২ – বহুপদ